Vektoren können durch ihre Komponenten beschrieben werden, die (je nach Anwendung) als (hier 3-dimensionaler) Spaltenvektor

oder (hier 4-dimensionaler) Zeilenvektor

geschrieben werden.

In der Literatur werden Vektoren unterschiedlich von anderen Größen unterschieden: Es werden Kleinbuchstaben, fettgedruckte Kleinbuchstaben, unterstrichene Kleinbuchstaben oder Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber benutzt. Dieser Artikel benutzt Kleinbuchstaben.

Eine Matrix wird durch ein 'Raster' von Zahlen angegeben. Hier ist eine 2-dimensionale Matrix (mit 4 Zeilen und 3 Spalten):

Matrizen werden meistens mit Großbuchstaben genannt.

Einzelne Elemente eines Vektors werden bei Spaltenvektoren in der Regel durch einen Index angegeben: Das 2. Element des oben angegebenen Vektors a wäre dann a₂=7. In Zeilenvektoren wird ab und zu eine Hochzahl benutzt, wobei man aufpassen muss, ob eine Vektorindizierung oder ein Exponent vorliegt: Mit dem obigen Beispiel b hat man etwa b⁴=7.

Matrixelemente werden durch zwei Indizes angegeben. Dabei werden die Elemente durch Kleinbuchstaben dargestellt: m_2,3=2 ist das Element der 2. Zeile in der 3. Spalte.

Sowohl Vektoren als auch Matrizen werden elementweise addiert (siehe hierzu auch Vektorrechnung und Matrix):

Die Multiplikation mit einer Zahl (Skalarmultiplikation, skalare Multiplikation) erfolgt durch Multiplikation jedes Vektor- oder Matrixelementes mit der Zahl.

Damit eine Multiplikation zweier Matrizen definiert werden kann, muss die Anzahl der Spalten der 'linken' Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der 'rechten' Matrix sein. Die anschauliche Merkregel zur Matrixmultiplikation beispielsweise zweier Matrizen zu C = A * B ist, dass man ein Element c_i,j der Matrix C aus dem Produkt der i-ten Zeile der Matrix A mit der j-ten Spalte der Matrix B erhält. Nach den oben genannten Bedingungen ist sichergestellt, dass eine Zeile in A genausoviele Elemente wie eine Spalte in B enthält. Dann kann man das Produkt von Zeile mit Spalte als die Summe der paarweisen Produkte (erstes Element der Zeile * erstes Element der Spalte + ... + letztes Element der Zeile * letztes Element der Spalte) definieren. Da man formal einen Vektor als eine Matrix mit einer Zeile oder einer Spalte auffassen kann, fallen Multiplikationen zwischen Matrix und Vektor ebenfalls unter diese Vorschrift.

Formal definiert man die Matrixmultiplikation C = A * B durch

Eine wichtige Anwendung der Linearen Algebra ist das Lösen linearer Gleichungssysteme. Beispielsweise kann man das lineare Gleichungssystem,

für das die Lösungswerte für x₁, x₂ und x₃ berechnet werden sollen, in eine Matrix- und Vektorgleichung A * x = b umformen:

Der Gauß-Algorithmus ist ein Standardverfahren zu dem Lösen linearer Gleichungssysteme.

Die Cramersche Regel zur Lösung von linearen Gleichungssystemen.

Das Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren zur Konstruktion von Orthonormalbasen.

• Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra; Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-46508-5
• Siegfried Bosch: Lineare Algebra; Springer-Lehrbuch, ISBN 3-540-41853-9
• Gerd Fischer: Lineare Algebra; Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3
• Klaus Jänich: Lineare Algebra; Springer-Lehrbuch, ISBN 3-540-66888-8